Polinomial

Materi Polinomial

1. Pengertian Polinomial

Polinomial (suku banyak) adalah bentuk aljabar yang terdiri dari beberapa suku. Bentuk umum polinomial dalam variabel \( x \) adalah:

\[ P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x + a_0 \]

Keterangan:

• \( a_n, a_{n-1}, \dots, a_0 \) adalah koefisien polinomial.
• \( n \) adalah derajat polinomial (pangkat tertinggi dari \( x \)).
• \( a_n \neq 0 \).

Contoh Soal 1: Pengertian Polinomial

Diketahui polinomial \( P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 7 \). Tentukan:

1. Derajat polinomial.
2. Koefisien dari \( x^2 \).

Pembahasan:

1. Derajat polinomial adalah pangkat tertinggi dari \( x \), yaitu 3.
2. Koefisien dari \( x^2 \) adalah -5.

2. Operasi pada Polinomial

a. Penjumlahan dan Pengurangan

Penjumlahan dan pengurangan polinomial dilakukan dengan menjumlahkan atau mengurangkan koefisien suku-suku yang sejenis.

b. Perkalian

Perkalian polinomial dilakukan dengan mengalikan setiap suku dari polinomial pertama dengan setiap suku dari polinomial kedua.

c. Pembagian

Pembagian polinomial dapat dilakukan dengan metode pembagian bersusun atau metode Horner.

Contoh Soal 2: Penjumlahan Polinomial

Diketahui:

\[ P(x) = 3x^2 + 2x - 5 \\ Q(x) = x^2 - 4x + 7 \]

Tentukan \( P(x) + Q(x) \).

Pembahasan:

\[ P(x) + Q(x) = (3x^2 + 2x - 5) + (x^2 - 4x + 7) \\ = (3x^2 + x^2) + (2x - 4x) + (-5 + 7) \\ = 4x^2 - 2x + 2 \]

Contoh Soal 3: Perkalian Polinomial

Diketahui:

\[ P(x) = 2x + 3 \\ Q(x) = x - 4 \]

Tentukan \( P(x) \cdot Q(x) \).

Pembahasan:

\[ P(x) \cdot Q(x) = (2x + 3)(x - 4) \\ = 2x \cdot x + 2x \cdot (-4) + 3 \cdot x + 3 \cdot (-4) \\ = 2x^2 - 8x + 3x - 12 \\ = 2x^2 - 5x - 12 \]

Contoh Soal 4: Pembagian Polinomial

Diketahui:

\[ P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \\ \text{Dibagi oleh } (x - 2) \]

Tentukan hasil bagi dan sisanya.

Pembahasan:

Gunakan metode pembagian bersusun atau metode Horner. Dengan metode Horner:

1. Susun koefisien: \( 1, -6, 11, -6 \).
2. Gunakan \( x = 2 \): \[ \begin{align*} 1 \cdot 2 + (-6) &= -4 \\ -4 \cdot 2 + 11 &= 3 \\ 3 \cdot 2 + (-6) &= 0 \\ \end{align*} \]
3. Hasil bagi: \( x^2 - 4x + 3 \).
4. Sisa: 0.

3. Teorema Sisa

Teorema Sisa menyatakan bahwa jika polinomial \( P(x) \) dibagi oleh \( (x - a) \), maka sisanya adalah \( P(a) \).

\[ \text{Sisa} = P(a) \]

Contoh Soal 5: Teorema Sisa

Diketahui:

\[ P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5 \]

Tentukan sisa pembagian \( P(x) \) oleh \( (x - 2) \).

Pembahasan:

\[ P(2) = 2(2)^3 - 3(2)^2 + 4(2) - 5 \\ = 2(8) - 3(4) + 8 - 5 \\ = 16 - 12 + 8 - 5 \\ = 7 \]

Jadi, sisanya adalah 7.

4. Teorema Faktor

Teorema Faktor menyatakan bahwa jika \( P(a) = 0 \), maka \( (x - a) \) adalah faktor dari \( P(x) \).

Contoh Soal 6: Teorema Faktor

Diketahui:

\[ P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \]

Tunjukkan bahwa \( (x - 1) \) adalah faktor dari \( P(x) \).

Pembahasan:

\[ P(1) = (1)^3 - 6(1)^2 + 11(1) - 6 \\ = 1 - 6 + 11 - 6 \\ = 0 \]

Karena \( P(1) = 0 \), maka \( (x - 1) \) adalah faktor dari \( P(x) \).

5. Akar-Akar Polinomial

Akar-akar polinomial adalah nilai \( x \) yang memenuhi \( P(x) = 0 \). Untuk polinomial derajat 2 (kuadrat), akar-akarnya dapat dicari menggunakan rumus:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Contoh Soal 7: Akar-Akar Polinomial

Diketahui:

\[ P(x) = x^2 - 5x + 6 \]

Tentukan akar-akar dari \( P(x) \).

Pembahasan:

Faktorkan polinomial:

\[ P(x) = x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) \]

Akar-akarnya adalah:

\[ x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \\ x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3 \]

Jadi, akar-akarnya adalah 2 dan 3.

Ringkasan

1. Polinomial adalah bentuk aljabar dengan beberapa suku.
2. Operasi polinomial meliputi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian.
3. Teorema Sisa digunakan untuk menentukan sisa pembagian polinomial.
4. Teorema Faktor digunakan untuk menentukan faktor dari polinomial.
5. Akar-akar polinomial adalah solusi dari persamaan \( P(x) = 0 \).

Latihan Soal

1. Diketahui: \[ P(x) = 4x^3 - 2x^2 + x - 7 \\ Q(x) = 3x^2 + 5x - 2 \] Tentukan \( P(x) - Q(x) \).
2. Diketahui: \[ P(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6 \] Tentukan sisa pembagian \( P(x) \) oleh \( (x + 1) \).
3. Tentukan akar-akar dari polinomial: \[ P(x) = x^2 - 7x + 10 \]